Laka Matematika – Mehaničko pamćenje ili logičko mišljenje?

Piše: Velibor Rakić, učitelj

“Um nije posuda koju treba napuniti već vatra koju treba zapaliti.”  – Plutarh

Da li ste znali da tokom školovanja, 15%  učenika  iskazuje veću ili manju potrebu za privatnim časovima matematike  do polaska u peti razred osnovne škole, 25% do polaska u srednju školu, 40%  do upisa na fakultet, a do 90% na fakultetima na kojima se izučava, ili tačnije , sluša ovaj predmet?

Koliko ste puta pomislili:’ ’Šta ovaj profesor priča?’’

Verujem da negativan stav prema ovom predmetu potiče upravo od nerazumevanja istog.

Problem nastaje u nižim razredima osnovne škole. Logička matematika, primenjuje se u prvom razredu osnovne škole. Tada pomoću slika i boja, matematiku predstavljamo učenicima kao igru. Crtamo skupove, učimo vrednost brojeva, odnosno njihovo značenje, upoređujemo i to nas zabavlja. U drugom razredu, priča se nastavlja, ali naredne tri godine školovanja i shvatanje matematike, isključivo zavise od kreativnosti učitelja. Međutim, kako je i nekima od njih, matematika bila samo srednjoškolska i fakultetska noćna mora, tako i njihov metodički pristup ovoj tematici, postaje suvoparan. U većini slučajeva, predavačima je bitno da se pridržavaju nastavnog plana i programa, ne posvećujući dovoljno pažnje metodičkom pristupu problemu i logičkom zaključivanju deteta, te se suvoparna materija počinje pamtiti mehanički, ’’nasilnom vežbom’’.

Koliko je taj metod efikasan?

’’Efikasnost’’ se ogleda u čestom zaboravljanju materije, teškoći samog razumevanja postavke tekstualnog zadatka u višim razredima, pa često i nemogućnošću izvođenja pravilne postavke zadatka (čest slučaj među srednjoškolcima i studetima).

Koliko vas je reklo sebi:’’Ja ovo ne razumem!’’

U višim razredima osnovne škole i srednjoj školi, nastavnici/profesori predaju, ne obazirući se na predznanje učenika. E, upravo tu dolazi do problema i tada se uviđa ’’efikasnost’’ mehaničkog učenja i javlja se potreba za privatim časovima. Vaš predavač, objasniće vam kako da uradite zadatke, potrebne za dobijanje željene ocene. Tu nastavnu oblast izvežbaćete mehanički kroz mnogo primera matematičkih zadataka, ali, to je samo jedna nastavna oblast od mnogih.  Dobićete željenu ocenu, a za narednu, iznova, tražićete pomoć. Do položenog ispita na fakultetu, mnogo puta, vratićete se na početak. Da li vas to zadovoljava?

Ključ rešenja problema leži u nastavi logičke matematike, zaključivanja i povezivanja u periodu od drugog  do šestog razreda osnovne škole. Shvatanjem matematike u toj dobi, rešili smo problem tokom daljeg školovanja.

Advertisements

21 responses to “Laka Matematika – Mehaničko pamćenje ili logičko mišljenje?”

  1. Branko Dencic says :

    Sve je ovo lepo analizirano, i tacno, ali ne nudi resenje za nas koje su profesori sjebali tad kad su trebali da nas nauce logickoj matematici…?

    • igor rakic says :

      Upravo je to cilj. Vleibor je jedan od 100000 ucitelja koji sa novim klinicima radi prevenciju ovih problema koje smo mi imali…

    • Velibor Rakic says :

      Poštovanje Branko!

      Apsolutno ste u pravu. Pojedini profesori su napravili propust i nisu učenike naučili ono što bi trebali. U školama se na našu nesreću ”uči” matematika, ali nas malo koji profesor nauči kako se uči matematika. Za mnoge, ona pretstavlja samo ogroman broj nabacanih formula, koje napamet treba naučiti i primeniti ih onako kako nam to naš profesor/nastavnik kaže.

      E, gde je tu razumevanje?

      Svatam Vaš negativan stav, jer sam ga i ja lično imao za vreme školovanja. Upravo iz tog razloga, Škola intelektualnih veština, razrađuje program RLM (razumevanje logičke matematike), te istu povezuje sa već poznatim tehnikama (Brzo čitanje i Mape uma). Mi Vas možemo naučiti matematiku, što i drugi dobri metodičari mogu (ne metematičari, jer matematičar može znati matematiku za sebe, a metodičar znanje ume preneti). Ali, ono što nas čini drugačijim je to, što naše polaznike učimo KAKO SE UČI MATEMATIKA.

      Učimo ih kako logički da razmišljaju, povezuju, izdvajaju bitno i da ne polaze od posebnog ka opštem, već od opšteg ka posebnom (”Učenje se uči” – jučerašnje izdanje časopisa Blic žena).

      Kada se savlada tehnika učenja, te tehnika učenja matematike i probudi se logičko zaključivanje koje nam je urođeno, a koje su nam nastavnici potisnuli tradicionalnim metodama učenja, matematika postaje igra.

      Da rezimiram: MI nudimo rešenje. Polaznike ne učimo formule niti se naš rad zasniva na vežbanju putem rešavanja velikog broja matematičkih zadataka. Naprotiv, učimo vas tehnikama učenja, logičkom zaključivanju, nakon čega i primenu u matematici na konkretnim primerima. Seminari za 2012-tu godinu, biće prilagođeni učenicima od trećeg do šestog razreda, ali te iste seminare, pohađaju i srednjoškolci i studenti jer, kao što je u tekstu napisano, upravo u toj dobi nastaje problem.

      Nedavno sam radio RLM sa grupom studenata Pedagoškog fakulteta u Bijeljini. Spremali su ispit Metodika matematike 2. Rešavajući zadatke i praveći greške, uvideo sam da su propustili gradivo iz četvrtog razreda osnovne škole. Budući učitelji, a imaju veliki problem sa merama i mernim jedinicama jer su ih učili napamet (pretvaranje iz većih u manju jedinicu površine i obrnuto….) . Problem, koji ih je mučio godimama, uklonili smo za desetak minuta.

      Bitan je pristup problemu (pročitati – razumeti – raščlaniti problem – odabir metode rešavanja problema – primena – zaključak ) – sve to je samo tehnika učenja koja se uči na seminarima Škole intelektualnih veština.

      Ako dozvolite, pitao bih Vas, koji razred pohađate?

      • Anonymous says :

        poz velibore izvinite na pitanju gje zivite ,imam velik problem sa cerkom 2 srednje je poljoprivredni tehnicar ima 2 iz matematike ptoreba joj je osoba koja zna matematiku i koja zna svoje znanje da prenese mi smo iz bljenine ako ste u blizine negdje da mi se javite unapred hvala 066 823 752

      • slavica says :

        Kako bih mogla stupiti sa Vama u kontakt jer imam stvarno problema sa matematikom i treba mi pomoc. Pohadjam 2 razred srednje poljoprivredne skole ( poljoprivredni tehnicar) ako ste blizu Bijeljine voljela bih da stupim u kontakt sa Vama. Hvala unapred.

      • rakicigor says :

        Pozdrav Slavice,
        javite se Veliboru Rakicu na velibor@intelektualnevestine.rs
        Pretpostavljam da bi on trebalo da ima neku ideju za vas.

    • Velibor Rakic says :

      Ni mene nisu naučili moji profesori u školi, ali sam imao od koga naučiti kod kuće. Tom problemu sam se posvetio tek na četvrtoj godini studija, zahvaljujući profesorki D. Milinković ( metodika matematike 2) te njenom i mom zapažanju, koliko i budući učitelji ne razumeju matematiku a trebaju postaviti ”metematički temelj” u glavi mališana.

      Problem nastavnika i profsora matematike je u tome što su u većini slučajeva dobri matematičari, ali ne i metodičari.

      Najbolji matematički metodičar (stari profesor matematike u jednoj srednjoj školi) kog sam upoznao, završio je fakultet sa prosekom 6,00!! No, ono što on objasni, što uprosti, svako razume.

      Opet, slušao sam matematičare, studente i profesore, koji imaju (ili su završili) prosek 9-10. Ja sam imao problem da ih razumem. Oni znaju za sebe.

      Tako da, poštovani Branko, razumem nezadovoljstvo. Zato i radim sa mlađim učenicima, kako ne bi imali isti problem.

      Studenti koji dođu kod mene (saradnja), nemaju problem sa gradivom iz srednje škole ili fakulteta. Problem leži u propustima gradiva trećeg do osmog razreda.

      Rešenje starijima nisam ponudio. Svoj rad (istraživanja) u ovoj oblasti, posvetio sam mlađim učenicima, ali sam siguran da će neki od budućih radova, veoma koristiti i starijima.

  2. Nikola Avramov says :

    Meni je prekretnica u savladavanju matematike, u 1. razredu gimnazije, bila upravo vraćanje logičkoj matematici.
    Tome mogu da zahvalim privatnom profesoru koji me je naterao da “čitam” matematičke izraze, kao i da “matematizujem” rečenice.

    • Velibor Rakic says :

      Upravo tako. Naučimo li ”čitati” matematiku, već smo 80% problema rešili.

      ”Suština matematike nije u formulama, nego u procesu razmišljanja, putem kojeg se dolazi do formula.” – V. Le

      • Ana says :

        ”Suština matematike nije u formulama, nego u procesu razmišljanja, putem kojeg se dolazi do formula.” – ovo je jedna od “zvezda vodilja” kroz najzanimljiviji predmet, bar je meni bio jedan od omiljenih.

        Pokažite deci da matematika nije bauk, da je to jedna fenomenalna igra. Igrajte se i prelazite oblasti jednu za drugom, baš kao što na igricama prelazite nivoe, kada stignete do kraja shvatićete kako se svuda oko vas nalazi po neki “problem”, ali onaj matematički.

        U potpunosti podržavam ovaj metod učenja! Samo tako nastavite, ima mnogo talentovane dece, a to isto ne mogu reći za prosvetne radnike, Velibore samo tako nastavi!

  3. Velibor Rakic says :

    Hvala Ana!

    Ono što je prednost ove metode je to što seminari nisu prilagođeni samo talentovanoj deci. Putem odgovarajućih tehnika i oni, kojima učenje uopšte predstavlja problem, savladaće gradivo i, zaista ga naučiti. Trenutno znanje i moć reprodukcije nije naš cilj, već veština učenja, te primena tehnika na bilo koju materiju. Time se podstiče želja učenika za usvajanjem novih znanja, a samim tim, naučeno predstavlja trajno znanje.

    Kao što ste pomenuli:”Igramo se znanjem”.

    ”Matematika, kao i svaka dečija igra, sačinjena je od niza pravila. Znaš da je štih jači od devetke u igri kartama. Da je ful jači od dva para u pokeru. Da ukoliko kockica pokaže 6, bacaš još jednom. Da moraš imati kiflicu, salamicu i prilog za dobar sendvič… Koliko je bilo teško naučiti ta pravila? Ne, bilo je lako, jer je zanimljivo. Matiš je zanimljiv, koliko i svaka druga igra. Zapravo mnoge se i zasnivaju na matematici. Potreban je samo malo drugačiji pristup učenju, da bi se još kako njom’ igrali…”

  4. Zorana says :

    Pomenuli ste merne jedinice površine. Moja sestra ima problem u četvrtom razredu osnovne škole. Imali su kontrolni a uskoro i pismeni. Imaju tablicu u svesci izdiktiranu koju napamet uče. Recimo, pretvaraju 25 dm kvadratnih u are ili u milimetre kvadratne. Da li može to lakše da se nauči? Svaki dan je preslišavam po tablici. I ja sam tako isto naučila u školi.

  5. Velibor Rakic says :

    Naravno Zorana. Sigurno da postoji mogo lakši način i nema potrebe da neko napamet uči koliko u jedom, recimo hektaru ima ari, metara kvadratnih, decimetara kvadratnih, itd.

    Prvo treba znati da je osnovna jedinica za merenje površine metar kvadratni ( m² ).

    Kako su ranije naučili jedinice za merenje dužine i njihov odnos:

    1m=10dm ; 1dm=10cm ; 1cm=10mm , itd.

    učitelj odnosno nastavik je objasnio učenicima pomoću mreže (modela), da u jednom metru kvadratnom ima 100 decimetara kvadratnih.

    Ja ne mogu da postavim sliku mreže, ali to velika većina učenika shvati na času, kao i da je:

    1 km²=100ha
    1ha=100a
    1a=100m²
    1m² =100dm²
    1dm² =100cm²
    1cm²=100mm²

    Ali, zašto bi učili napamet da je 1a=10 000dm² , da je 1km²=1 000 000dm², ili recimo za starije učenike: 1a=100 000 000mm² ?!

    Susretao sam se sa takvim tablicama, koje učitelji diktiraju učenicima.

    Obično prvo izdiktiraju:

    1km²=100ha=10 000a=1000 000m² =100 000 000dm²=10 000 000 000cm²= =1 000 000 000 000mm²

    Zatim kreću neke ”čudesne” tablice. Učenici u toj dobi se ne uče ovako velike brojeve, no iskoristiću upravo gore napisano za objašnjenje, što i starijim generacijama može pomoći.

    Zaključujemo da se svaka manja jedinica u nizu:km²,ha,a,m²,dm²,cm²,mm² , sadrži u prethodnoj 100 puta (pogledati gore tabelu).

    Prema tome, ako pretvaramo:

    * iz već jedinice površine u manju, prepisujemo vrednost izraženu u datoj jediinici mere pvršine i dopisujemo dve nule.

    Da uprostim:

    Ako kažem: Pretvori 26a u m² , prepisaćete 26 i dodati dve nule, jer pretvarate u MANJU jedinicu, pa je to 2 600m².

    Za svaku narednu manju jedinicu u koju pretvarate, dodajete još po dve nule.
    Primer: 49m², pretvori u (izrazi u) mm².

    Znamo da je manja jedinica od m², dm² te za nju dodajemo dve nule. Od nje još manja jedinica je cm², te dopisujemo još dva nule i dolazimo do mm², za koji dopisujemo još dve nule. To je ukupno 6 nula.

    49m²= 49 00 00 00mm² ili lepo zapisano: 49 000 000mm²

    *ukoliko pretvaramo iz MANJE jedinice površine u VEĆU, radimo obrnuto – oduzimamo dve nule.

    Primer:

    390 000cm² pretvoriti u m²

    Za dm² oduzmemo dve nule (390 0–), a za m² još dve (39- —)

    390 000cm²=39m²

    Ovakvim postupkom, učenici ne čine greške i ne bili ih glavica od učenja nekakvih tablica.

    U sledećem postu, objašnjenje istog, za učenike viših razreda.

  6. Velibor Rakic says :

    Izvinjavam se zbog grešaka u kucanju. Slovo ”n” mi često blokira prilikom kucanja.

    Hvala.

  7. Velibor Rakic says :

    Za starije:

    Isto je i sa, recimo brojevima:

    936506,26m² pretvori u dm².

    Samo umesto nula, igramo se zarezom. Pomerimo ga za dva mesta u desnu stranu za manju jedinicu i dobijemo

    936506,26m² =93650626dm².

    Za još manju, recimo cm² još dva zareza i tako redom. Ukoliko se dogodi kao ovde da nemamo gde više pomeriti, odnosno da nam je nestalo cifara sa desne strane zareza, tada dopisujemo nule (stari sistem). Nebitno da li je u pitanju zarez ili nule, bitna su DVA MESTA. To je ključ.

    936 506,26m² =93 650 626dm²= 9 365 062 600cm².

    A, ukoliko pretvaramo iz MANJE u VEĆU, obrnut sistem:

    439,57dm²= 4,3957m²= ______a ???

    E sada, trebaju nam dva mesta levo, ali nemamo, pa šta radimo? Dopisujemo za to jedno mesto koje nemamo, jednu nulu:

    439,57dm²= 4,3957m²= 043957a , ali, pošto broj počinje nulom 043957, setimo se zašto smo je dopisali? Da bi stavili zarez!

    ,043957

    Kako ispred zareza mora biti neka cifra, pišemo NULU.

    0, 043957a

    Želite u km²? Može. Setimo se pravila za mlađe učenike i nula: za ha dve i još dve za km².km²

    0, 043957a = 0000 0, 043957 – dopisali smo četiri nule, a kako zarez mora biti iza prve nule, odnosno kako ga pomeramo za 4 mesta, biće :

    0, 043957a = 0,000 0 043957km² ili uređeno: 0,0000043957km²

  8. readytogo says :

    eee kad bi moje dete imalo takvog ucitelja matematike eh 🙂

  9. Velibor Rakic says :

    Treba voleti ovaj poziv i, usavršavati se, biti u toku, kako bi popularno rekli.
    Lično, imam naviku reći:

    ”Ja vam nisam nastavnik. Ja sam vam prijatelj. Želim vas naučiti i isto tako, naučiti od vas.”

    Podučavanje je obostrano. Od starijih, nikada ne mogu naučiti, što mogu od dece, niti primetiti problem ili pronaći ključ bez njih.

    I, znajte, jedini dobar čas je onaj, na kom’ se mališani smeju. Hormon sreće je čudo, a kroz simpatične primere, najlakše usvajaju znanje.

    Zato 🙂

    • nejie says :

      Ne znam da li jos uvijek ima nekog na ovoj straniici hahah ,ali da pokusam.
      Ja imam veliki problem s matematikom.Profesorica je grozna realno,a ja imam supljinu u znanju tako da nista ne mogu shvatiti.Da li mi neko moze pomoci?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: